Родился 23 марта 1912 года в ауле Большой Кичмай Лазаревского района Краснодарского края. Окончил Адыгейское педагогическое училище и Краснодарский педагогический институт. Работал директором школы в ауле Красноалександровский. В Советскую Армию призван в 1942 году и направлен на фронт.
Заряжающий орудия 2-го гвардейского отдельного конно-артиллерийского дивизиона рядовой А. А. Ачмизов отличился в боях в районе аула Новкус-Артезиан Ставропольского края. 2 декабря 1942 года при отражении танковой атаки заменил вышедшего из строя наводчика и вместе с раненым командиром расчета вступил в поединок с 11 вражескими танками. Уничтожил 6 танков противника. В этом бою погиб. Похоронен в ауле Новкус-Артезиан. Звание Героя Советского Союза присвоено посмертно 31 марта 1943 года. Награжден орденом Ленина, Отечественной войны 2-й степени.
Имя Героя носят школа, улицы в родном ауле и Майкопе. В Большом Кичмае перед зданием школы ему установлен памятник. На зданиях Адыгейского педагогического колледжа и Красноалександровской средней школы установлены мемориальные доски.