Родился 15 ноября 1919 года в ауле Тлюстенхабль Теучежского района. Окончил первый курс Адыгейского педагогического училища. В 1942 году окончил курсы младших лейтенантов кавалерии.
С началом Великой Отечественной войны на фронте. Воевал командиром отделения минометного взвода на Южном, Юго-Западном, Воронежском и 1-м Украинском фронтах. Особое боевое мастерство, отвагу и героизм старший лейтенант К. Б. Бжигаков проявил в боях на заключительном этапе войны. В числе первых 30 января 1945 года форсировал Одер в районе города Ратибора (Польша), обеспечил огнем захват стратегически важного плацдарма. Позднее в апреле 1945 года участвовал в форсировании реки Эльбы и в наступательных боях в районе города Майсен (Германия). Звания Героя Советского Союза удостоен 27 июня 1945 года. Награжден орденами Ленина, Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Отечественной войны 2-й степени, тремя орденами Красной Звезды, медалями.
После войны жил и работал в Краснодаре в органах МВД. В 1967 году ушел в запас в звании полковника. Умер 28 октября 1991 года. Похоронен в родном ауле, где ему установлен памятник. Имя Героя носит школа № 10 в Тлюстенхабле. Его именем названы улицы в Адыгейске и Тлюстенхабле. На здании Адыгейского педагогического колледжа, где учился Герой, установлена мемориальная доска.













