Когда математика обманывает

Так называемые средние значения известны человечеству очень давно. Ещё древнегреческие математики – Архит, Пифагор, Папп Александрийский – прекрасно знали о существовании трёх различных средних величин. Если мы возьмём два положительных числа a и b, тогда для них можно определить следующие средние значения:

Среднее арифметическое (самое известное):

Среднее геометрическое:

Среднее гармоническое:

Древним грекам была даже известна так называемая основная теорема о средних значениях, и они умели её доказывать. Говорит нам эта теорема о том, что при любых числах a и b среднее гармоническое будет меньше или равно среднему геометрическому, а среднее геометрическое – меньше или равно среднего арифметического. Всегда и без исключений:

[img]"[/img]

Среднее значение – неплохой математический инструмент, позволяющий объективно оценивать многие финансовые, сельскохозяйственные или бытовые подсчёты. Например, убирая яблоки в саду, нам будет намного удобнее не считать вес каждого ведра в килограммах отдельно, а взвесить некое «среднее» ведро и затем умножить на количество ведер. Считать получится намного быстрее, а результат будет отличаться от истинного на какие-то доли процента. В общем, сплошная выгода.

Однако подобная «лёгкость» метода так и соблазняет применять его везде и повсюду, а вот это уже огромная ошибка! Многие любят сегодня графики и формулы – и выглядит солиднее, и «научность» сразу же бросается в глаза. Но вот математики с такой постановкой вопроса совершенно не согласны! Прежде чем использовать в той или иной области математические формулы, следует строго доказать применимость в этой ситуации математических моделей!

Взять те же средние значения. Во-первых, анализ средних значений допустим только для однородных величин! Скажем, считать «в среднем» яблоки вполне допустимо, а вот «яблоки, голубей и хлебные крошки» – уже категорически нельзя.

[img]"[/img]

Во-вторых, анализ средних значений имеет смысл только в случае, если значения соизмеримы друг с другом (близки друг к другу), то есть соотношение a : b не должно сильно отличаться от единицы. Скажем, третьеклассники Миша (9 с половиной лет), Петя (10 лет) и Толя (10 с половиной лет) дадут нам средний возраст 10 лет. Очень правдоподобно. Но если мы добавим к ребятам пожилую учительницу Дарью Петровну (70 лет), то получим средний возраст 25 лет! Четырёх молодых людей, недавно закончивших институт... Это уже враньё, а никакая не наука!

Другой пример – популярные подсчёты «средней зарплаты». Возьмём деревенского почтальона Печкина с зарплатой 12 000 рублей в месяц и олигарха Кошельковского с доходом 12 000 000 рублей в месяц. Тогда «в среднем» каждый из них получает каждый месяц по 6 миллионов 6 тысяч рублей, так что ли? Сами понимаете, что подобная «оценка» не является достоверной и вводит кой-кого в заблуждение.

В-третьих, считать среднее значение можно и нужно только тогда, когда оно является актуальным, то есть содержит востребованную и важную информацию. Скажем, температура на поверхности Солнца = 5700 градусов, а температура на поверхности Земли = 25 градусов. Мы можем посчитать среднее значение? Легко: (5700 + 25) : 2 = 2862,5 градуса. Но что именно эта цифра нам показывает? Какие мы можем сделать выводы на её основе? Да ровным счётом никаких...

[img]"[/img]